ACTIVIDAD 2

Los sistemas de numeración no posicionales son unos de los sistemas más antiguos, por ejemplo se usaban los dedos de la mano para representar la cantidad de cinco, también se usaban  curdas con nudos para poder representar una cantidad. En los sistemas de numeración no posicional, los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupa en el número.

Estos tipos de sistemas eran muy complejos ya que los dígitos podían aparecer en cualquier posición y uno de los ejemplos más conocidos de estos sistemas es la numeración que se encuentra en Egipto que se representa con dibujos extraños. El sistema de numeración egipcio era decimal y no posicional. Cada unidad se representaba con un trazo vertical, las decenas con un arco y las centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar y millones en un jeroglífico específico.

Los números romanos también son números no posiciones pero estos números se representan diferentes a los egipcios  

X = 10

lX = -1 + 10 = 9

XXX = 10+10+10 = 30

XC = 100-10 = 90

En todos los ejemplos la X vale siempre 10.

Este sistema se utilizó en todo el imperio de roma, y se podrán dar cuenta de que los números son representados por letras mayúsculas como símbolos para representar los números, otro dato importante en el sistema romano es que ellos no conocían el número cero, no lo tenían representado en su sistema , pero posteriormente se introdujo por los árabes. Aparte del sistema de numeración no posicional también existen los sistemas de numeración semiposicional y posicional.

En el sistema egipcio para representar una cantidad grande por así decirlo se tenían como hasta siete jeroglíficos, para representar  754 usaban siete jeroglíficos de centenas, 5 de decenas y cuarto trazos. De alguna forma todas las unidades estaban físicamente presentes.

La numeración griega también entra en estos sistemas, esta numeración se desarrolló hacia el 600 A.C. era un sistema de base decimal que utilizaba símbolos para poder representar cantidades. Para poder representar la unidad y los números hasta el cuatro se usaban trazos verticales, para el cinco, diez y cien las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofonico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100, y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Y RACIONALES

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios números enteros representados por medio de fracciones, estos números son una cifra  o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente un numero entero y un número natural positivo. Sus propiedades son, la propiedad interna y según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado pueda ser reducido a su mínima expresión y en la propiedad asociativa se dice que si se agrupa los diferentes sumados racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.

Las propiedades de los números reales son diferente a las de los números racionales como ejemplo esta la suma (a+b)+c = a+(b+c) pero aplicando la propiedad conmutativa se sumara así  a+b=b+a, también es el mismo procedimiento en la multiplicación porque el orden de sumar o multiplicar  reales no afecta el resultado por ejemplo seria ab=ba  se podría representar así también como 5(-3)=(-3)5 , en la propiedad asociativa la suma y la multiplicación pueden hacer diferentes asociaciones reales y no se afecta el resultado , sigue siendo el mismo ejemplo de la suma puede ser 7+(6+1)=(7+6)+1 igual pasa lo mismo con la multiplicación. 

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números irracionales solían tener otro nombre el cual era  números inconmensurables que significa que posee infinitas cifras decimales no periódicas y  no pueden ser expresadas como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado como la raíz cuadrada de dos, siendo el resultado el número, un ejemplo de lo los números irracionales más claro es que cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones. Las propiedades de estos números son que además de ser un número infinito decimal no  periódico, también es conmutativa y eso quiere decir que en la suma y la multiplicación se cumple esta propiedad según la cual el orden de los factores no altere el resultado π+ϕ = ϕ+π y en la multiplicación es π×ϕ=ϕ×π, también tiene la propiedad asociativa en donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación como ejemplo  (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e) y de la misma forma la multiplicación  (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

 También existen más propiedades como el elemento opuesto etc.  

NÚMEROS IMAGINARIOS

Los números imaginarios o números complejos son representados por una i, la i al cuadrado siempre dará -1.

Una de las propiedades básicas de estos números es en la suma donde si sumamos puros números imaginarios por lógica el resultado será imaginario también. Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumados no altera la adición.

Los números imaginarios tienen una propiedad distributiva y eso quiere decir que donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma  del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número y en la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado creo y en la multiplicación también el resultado es imaginario   al igual que la suma pero en este caso de multiplicación si el orden de los números se altera o en pocas palabras en la operación  están reborujados , el resultado no se alterara . También posee una propiedad distributiva y eso quiere decir que por cada número imaginario también existe un inverso cuyo resultado de ambos es igual a 1.

De la misma  manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado será un número imaginario.  

DIFERENCIA ENTRE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES

Como ya hemos explicado anteriormente los números enteros es que los naturales contienen clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado, por ejemplo los números naturales de representan por IN o N los cuales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….En estos números no se encuentra ningún valor negativo. También en estos números podemos agregar el cero.

Por tanto estos conjuntos pueden interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar en el cual se puede definir la suma, resta, división y multiplicación pero en los números enteros se pueden encontrar los números naturales como los negativos a diferencia de los números racionales que pueden ser expresados como razón de dos . Algunas veces los números irracionales se representan por una Q.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa  por Q y estos números representan partes  de algo dividido en partes iguales .Los números irracionales puedes ser fracciones como 2/4 y también pueden ser números enteros 2=2/1.

A diferencia los enteros tienen un numero de continuidad como 1 , 2 ,3 , los racionales no pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

DIFERENCIAS ENTRE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS NATURALES

La diferencia entre los números naturales y los números enteros es que los naturales contienen clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado, por ejemplo los números naturales de representan por IN o N los cuales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….En estos números no se encuentra ningún valor negativo. También en estos números podemos agregar el cero.

Por tanto estos conjuntos pueden interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar en el cual se puede definir la suma, resta, división y multiplicación pero en los números enteros se pueden encontrar los números naturales como los negativos. Un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares entre naturales y negativos, estos tipos de números se representan por una z y cada vez que un número se pueda contar o medir en dos sentidos opuestos es considerado como positivo o negativo.

Para poder identificar cuáles son los números negativos y cuales los positivos en una recta numérica tomamos como origen el cero que se dibuja o se pone en medio de la recta y para la derecha están los positivos (+)  y para la izquierda están los negativos  (-) .

PROPIEDADES DE NÚMEROS NATURALES

Las propiedades de los números naturales son muy sencillas como ejemplo los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…..Los números naturales son un conjunto cerrado para la adición y la multiplicación pero en las operaciones inversas ocurre algo diferente como en el caso de los números negativos 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN, la cual IN es lo que representa los números naturales.

Los números naturales tienen propiedades para la adición y la multiplicación, para la adición está la conmutatividad que se refiere a que cierta suma es la misma suma al revés por ejemplo: 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9 y la asociatividad es un poquitito más compleja por ejemplo: (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6) al resolver los paréntesis queda así: 7 + 6 = 5 + 8 y como resultado da 13 = 13 ,porque cinco más dos da siete y dos más seis es igual a  ocho.

Y en las propiedades multiplicación es lo mismo que en la adición, cierta multiplicación es la misma  al revés y también se resuelven primero los paréntesis (se multiplican). 

NUMEROS COMPLEJOS

Hace años los números complejos tenían otro nombre el cual era los números imposibles, pero  hoy en la actualidad los llamamos números complejos o imaginarios.

Los números complejos aparecieron hace ya varios años pero la gente no le tomaba mucha importancia  ya que carecían de sentido o eran imposibles de representar pero estos extraños números aparecieron de entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Incluso los mismos griegos rechazaron esta idea de los números complejos porque carecían de un equivalente en la geometría porque según para ellos todo numero representaba  la longitud de un segmento.

El concepto de numero imaginario fue dado por Leonhard en 1777, el cual fue una persona muy importante en su tiempo, el otorgó a v-1 el nombre de i de imaginario.

Uno de los matematicos que mostró interés por estos números y por las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones cubicas fue el matemático italiano Cardano y todo gracias por el matemático Tartaglia porque  le enseño como resolver estas ecuaciones, aunque Tartaglia acuso a Cardano de traidor por publicar su obra Ars Magna , en el cual explica cómo resolver las ecuaciones cubicas pero así como Cardano y Tartaglia tuvieron interés en las ecuaciones cubicas , también hubo otros matemáticos que mostraron interés como Bombelli.

Bombelli conoce bien el trabajo de las ecuaciones cuadráticas ya que ya que ha leído Ars Manga. Consideraba aquel libro como unos de los más interesantes escritos sobre algebra. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban confusas. Bombelli puede ser llamado como el padre de los números complejos, porque fue el primero que desarrollo el álgebra formal para trabajar con las expresiones.

En algebra no se puede tener una raíz de numero negativo, después viene la pregunta más común ¿Qué significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo? Todo número con i se denominara como numero imaginario como por ejemplo z= al cuadrado de dos más la raíz de 3 i , y a esto se le denomina numero complejo, pero su parte real será el cuadrada de 2 y su parte imaginaria será el cuadrado de  3 i y cuando no  hay parte imaginaria (i) se dice que el número es real. Entonces los números reales forman parte de los números complejos. Uno de los números complejos comunes es el que no tiene parte real como z=12i en este caso se dice que el número es un número imaginario puro, también hay suma de números complejos el cual está basada en la suma de números reales. Para poder lograr una suma de números complejos primero tenemos que sumar los números reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios que son representados con una i.

Para poder realizar la resta de números complejos por ejemplo: 4 + 7i y  2 + 3i se acomodara de la siguiente forma  (4 − 2) + (7 − 3)i=2+ 4i , se cambiara el primer número por el primero y el segundo por el segundo.

Todo número complejo es aquel que está conformado por un muero de cifras resultante de la suma de números reales y uno de tipo imaginario. Un número real es un número entero o decimal y los números imaginarios son los que tienen raíz negativa. Los números complejos son muy útiles en la vida en especial en diferentes tipos de carreas como la ingeniería. Por su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas y aparte de la ingeniería también son utilizados en mecatrónica.En resumen, en el entorno de los números complejos puede haber suma, resta, división etc.

un poco de humor nunca estará mal en esta vida

Este vídeo es un poco viejo y breve pero explica muy bien la historia de johoannes kepler  y da a entender que al principio éramos personas de mentes estrechas, con una imaginación muy grande porque confundían a los planetas con dioses por el simple hecho de que se movían, metíamos también mucho a la iglesia en la ciencia o diferentes creencias pero Kepler no era un niño cualquiera él quería saber cómo pensaba dios  y gracias a esa obsesión que tuvo Kepler consiguió introducir tres leyes importantes para el movimiento de los planetas . Kepler fue un gran astrónomo alemán.